MATERI MATEMATIKA MATRIKS KELAS XII SMA

APA ITU MATRIKS?

Pengertian matriks adalah kumpulan bilangan (atau unsur) yang disusun menurut baris dan kolom tertentu. Bilangan-bilangan yang disusun tersebut dinamakan eleme-elemen atau komponen-komponen matriks. Nama sebuah matriks biasanya dinyatakan dengan huruf kapital. Dalam sebuah matriks ada istilah ordo. Yang dimaksud dengan ordo atau ukuran matriks adalah banyaknya baris x banyak kolom dalam sebuah matriks.

Contoh

Matriks A di atas terdiri dari 3 baris dan 4 kolom. Sobat bisa mengatakan matriks A berordo 3 x 4 atau bisa sobat hitung tulis A(3×4). 

MACAM-MACAM MATRIKS

(i) Matriks Nol (O)
Dinamakan matriks nol karena semua elemennya bernilai NOL

(ii) Matriks Bujur Sangkar
Adalah matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya

Contoh

(iii) Matriks Skalar
Matriks skalar adalah matriks yang elemen-elemen pada lajur diagonalnya bernilai sama. Simak contoh di bawah ini

(iv) Matriks Identitas
Adalah matriks skalar yang elemen-elemen diagonal utamanya bernilai 1

(v) Matriks Segitiga Atas
Adalah matriks bujur sangakr yang elemen-elemen di bagwah diagonal utamanya (kiri atas ke kanan bawah) bernilai nol

(vi) Matriks Segitiga Bawah
Kebalikan dari segitiga atas, matriks ini berbentuk bujur sangkar yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.

 

 (vi) Matriks Diagonal
adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di luar diagonal utama adalah nol

OPERASI PADA MATRIKS

Pada matriks dikenal beberapa jenis operasi seperti penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Dalam masing-masing operasi tersebut punya karakteristik sendiri-sendiri. Berikut selengkapnya:

1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Matriks A dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika dua matriks tersebut  berukuran sama. Hasil penjumlahannya atau penjumlahannya adalah sebuah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan atau mengurangkan elemen-elemen yang seletak.

Jika

A = (a_ij) _{m x n} dan B = (b_ij) _{m x n} maka
A + B = (a_ij) _{m x n} +  (b_ij) _{m x n}  = (a_ij + b_ij) _{m x n}
A – B = (a_ij) _{m x n} –  (b_ij) _{m x n}  = (a_ij – b_ij) _{m x n}

Contoh

 

2. Perkalian Skalar dengan Matriks

Jika skalara dikalikan dengan matriks maka akan diperoleh sebuah matriks yang elemen-elemennya merupkan perkalian skalar tersebut dengan setiap elemen matriks.

Jika A = (a_ij) _{m x n} maka k.A = k(a_ij) _{m x n =} (ka_ij) _{m x n}

Contoh

Dari operasi penjumlahan (pengurangan) dan perkalian skalar di atas didapt sfiat sifat asosiatif perkalian skalar terhadap penjumlahan (pengurangan).

kA = A.k (komutatif perkalian)
k (A + B) = k. A + k. B (asosiatif perkalian terhadap penjumlahan)
k (A – B) = k. A – k. B (asosiatif perkaian terhadap pengurangan)

3. Perkalian Dua Matriks

Matriks A dapat dikalikan dengan Matriks B (A x B) jika banyak kolom A = banyak bari B. Misal Am x n dan B n x k maka A x B = Cm x k dengan elemen-elemen C merupakan penjumlahan dari hasil kali elemen bari A dengan kolom B yang bersesuaian. Mudahnya itu sama kaya bari di kali kolom. Agar sobat lebih paham silahkan simak contoh berikut:

TRANSPOSE MATRIKS

Transpose dari suatu matriks merupakan pengubahan baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris. Transpos dari matrik A dinotasikan A^T. Jadi mirip transpose yang ada di excel. Jika sebuah matriks berordo 3 x 4 ketika ditransporse akan menjadi matriks berorde 4 x 3. Simak contoh berikut:

 

dalam matriks dikenal istilah matriks simetri, yaitu matriks yang ketika ditranspose sama dengan sebelum ditranspos. Contohnya

Karena A = At maka A disebut matriks simetri.

DETERMINAN MATRIKS

Setiap matriks bujur sangkar mempunyai nilai determinan. Nilai determinan dari suatu matriks merupakan suatu skalar. Jika nilai determinan suatu matriks sama dengan nol, maka matrik tersebut disebut matriks singular. Matriks singular tidak mempunyai invers/ balikan.

Contohnya

Untuk memahami rumus determinan matriks berordo 3 x 3 diatas, silahkan simak contoh di bawah ini:

Determinan dari matriks-matriks khusus

Beberapa matriks termasuk dalam matriks khusus dan punya rumus cepat determinanya
a. Matriks Diagonal

b. Matriks Segitiga Atas

c. Matriks Segititga Bawah

INVERS MATRIKS

Invers hanya dipunyai oleh matriks yang  tidak singuler. Invers matriks A dinyatakan dengan A^-1 dan secara umum dirumuskan

 

Read More

MATERI EKONOMI SMA KELAS XI

“HAMBATAN PEMBANGUNAN EKONOMI DI INDONESIA”

Indonesia - merupakan negara berkembang yang sulit untuk menjadi negara maju khususnya di bidang ekonomi, hal ini tidak terlepas dari permasalahan - permasalahan ekonomi yang menjadi hambatan proses pembangunan ekonomi di negara Indonesia.

 Ø  Faktor-­­faktor yang menjadi penghambat Pembangunan Ekonomi di Indonesia adalah :

a   .   Permodalan

Sumber modal  dalam negeri berasal dari tabungan masyarakat. Besarnya tabungan ditentukan oleh besarnya pendapatan, nilai uang yang stabil dan tersedianya sarana dan cara melaksanakan tabungan tersebut. Modal dapat dikatakan faktor pokok dalam pembangunan. Bila pendapatan perkapita rendah, maka proses pembentukan modalnya lambat. Akibatnya sumber utama pembentukan modal adalah tabungan pemerintah dan bantuan dari luar negeri.

b   .   Iklim dan Keadaan Alam

Pembangunan ekonomi di negara Indonesia masih sangat tergantung pada ilkim struktur yang agraris. Demikian juga sumber alam yang tersedia dapat menghambat pembangunan, karena orang hanya mengandalkan persediaan sumber alam yang tersedia. Dengan kata lain, persediaan sumber alam yang cukup membuat masyarakat menjadi enggan untuk bekerja keras.

c   .   Penduduk dan Ketenagakerjaan

Pembangunan dapat berjalan dengan baik apabila tersedia tenaga ahli yang cukup. Untuk itu bantuan tenaga ahli luar dalam jumlah terbatas tetap diperlukan terutama dalam mempercepat proses alih teknologi. Akibat lain dari kekurangan tenaga kerja ahli adalah terbatasnya kemampuan mengolah sumber daya alam.

d   .   Politik dan Ideologi

Kesetabilan politik suatu negara menentukan kelancaran proses pembangunan. Banyak biaya yang dikeluarkan untuk operasi pemulihan keamanan. Belum kerugian material dan korban jiwa yang ditimbulkannya.

e   .   Sistem Sosial dan Masyarakat

Kondisi objektif bangsa Indonesia adalah bahwa masyarakat terdiri dari berbagai suku bangsa, adat istiadat, agama/kepercayaan. Jika masalah ini tidak ditangani dengan baik dapat menimbulkan masalah dan salah paham, yang berarti menghambat pembangunan.

     f.   Situasi Ekonomi Dunia

Situasi ekonomi internasional baik resesi, fluktuasi maupun lainnya baik langsung maupun tidak langsung dapat menghambat pembangunan dalam negeri.

 Ø  Adapun faktor-faktor yang menjadi penghambat proses Pembangunan Ekonomi di Indonesia adalah :

1.      Perkembangan penduduk dan tingkat pendidikan yang rendah

             Perkembangan penduduk dapat menjadi pendorong maupun penghambat pembangunan. Perkembangan penduduk yang cepat tidak selalu menjadi penghambat dalam pembangunan ekonomi jika penduduk tersebut mempunyai kapasitas untuk menyerap dan menghasilkan produksi yang dihasilkan. Nampaknya hal ini belum menjadi modal dasar yang positif terlebih lagi tingkat pendidikan yang rendah, bahkan jumlah penduduk yang banyak sering kali menjadi penghambat.     

2.      Perekonomian yang bersifat Dualistik

            Perekonomian yang bersifat dualistik merupakan hambatan karena menyebabkan produktivitas berbagai kegiatan produktif sangat rendah dan usaha-usaha untuk mengadakan perubahan sangat terbatas sekali. Yang paling rawan adalah hambatan berupa dualisme sosial dan teknologi yang sangat berpengaruh terhadap mekanisme pasar sehingga sumber daya yang tersedia tidak digunakan secara efektif dan efisien.

3.      Tingkat pembentukan modal yang rendah,

            Tingkat pembentukan modal yang rendah merupakan hambatan utama bagi pembangunan ekonomi di Indonesia. Pembentukan modal di negara-negara yang berkembang merupakan “ Vicious Cycle “ ( lingkaran tak berujung pangkal ). Produktivitas yang sangat rendah mengakibatkan rendahnya pendapatan riil. Pendapatan yang rendah mengakibatkan low saving and low invesment, dan rendahnya pembentukan modal.

4.      Struktur ekspor berupa bahan mentah

            Sektor ekspor negara sedang berkembang khususnya Indonesia belum merupakan “engine of growth” karena bersifat industri yang mendorong ekonomi dualisme yang kurang mendorong perkembangan ekonomi lebih lanjut. Publis and Singer berpendapat bahwa dalam jangka panjang daya tukar barang-barang yang diperdagangkan oleh negara sedang berkembang dengan negara maju akan menjadi bertambah buruk, dan merugikan negara berkembang.

5.      Proses sebab akibat Komulatif

           Sebab akibat komulatif sirkuler adalah hambatan pembangunan di daerah miskin sebagai akibat pembangunan di daerah maju sehingga timbul gap antara daerah maju dengan daerah miskin. Keadaan-keadaan yang menghambat pembangunan di sebut back  wash effect.

            Faktor yang menimbulkan back wash effect :

1.       Perpindahan penduduk dari daerah miskin ke daerah yang lebih maju.

2.        Corak pengaliran modal yang beraksi.

3.       Pola perdagangan dan kegiatan perdagangan terutama didominasi oleh industri-industri di daerah yang lebih maju ini menyebabkan daerah miskin mengalami kesukaran untuk mengembangkan pasar hasil industrinya dan memperlambat perkembangan di daerah miskin.

Akhirnya keadaan yang menimbulkan back wash effect adalah keadaan    jaringan pengangkutan yang jauh lebih baik di daerah yang lebih maju sehingga menyebabkan kegiatan produksi dan perdagangan dapat dilaksanakan lebih efisien di daerah tersebut.

6.      Pendapatan yang rendah mengakibatkan tabungan rendah pula.                                                              Tabungan yang rendah akan melemahkan pembentukan modal yang pada akhirnya kekurangan modal, masyarakat terbelakang, kekayaan alam belum dapat dioalah, dan seterusnya sehingga merupakan lingkaran yang tidak berujung pangkal.

Ø  Faktor-faktor penghambat Pembangunan :

·         Faktor Dalam Negeri

1.      Pertumbuhan Penduduk

Dapat merupakan penghambat pembangunan karena;

-          Tingkat produktifitas yang rendah

-          Jumlah pendapatan perkapita yang rendah

-          Banyaknya penduduk yang tidak bekerja mengakibatkan pengangguran

-          Hasrat untuk berinvestasi yang rendah

-          Timbulnya urbanisasi

-          Kemampuan ekspor menurun dan timbul keinginan untuk melakukan impor

Dapat merupakan pendorong pembangunan karena;

-          Memungkinkan bertambahnya jumlah tenaga kerja

-          Memperluas perkembangan pasar

-          Peningkatan teknologi terutama teknologi bahan pangan

Pengaruh pertumbuhan penduduk terhadap faktor-faktor penentu dalam pembangunan :

-          Mengurangi jumlah tabungan yang diciptakan anggota masyarakat

-          Corak penanaman modal lebih banyak untuk pendidikan & sarana sosial

-          Pemerataan pendapatan terjadi pembatas antara golongan masyarakat

-          Strategi pemulihan teknologi yang akan digunakan

-          Mempercepat kenaikan produksi barang makanan

-          Perkembangan ekspor dan impor

2.      Faktor penghambat pembangunan Dualisme

Konsep Dualisme : Perbedaan antara bangsa kaya dan miskin, perbedaan antara berbagai golongan masyarakat yang semakin meningkat

4 Unsur pokok konsep Dualisme :

1.      Dua keadaan yang berbeda : Superior dan Inferior

2.      Kenyataan hidup perbedaan bersifat kronis dan bukan transisional.

3.      Derajat superioritas atau inferioritas terus meningkat

4.      Keterkaitan antar unsur berpengaruh kecil.

·         Faktor Luar Negeri

1.      Struktur Ekspor Kolonial

Sebagian ekspor adalah barang-barang hasil pertanian, pertambangan, perikanan yang berbentuk bahan mentah. Bahan baku tersebut jenisnya sangat terbatas

2.      Proses Sebab Akibat Komulatif

Yaitu sebab-sebab dari bertambah buruknya perbedaan dalam tingkat pembangunan di berbagai daerah, khususnya di Indonesia

Ø  Masalah dan hambatan sosial dalam Pembangunan Ekonomi di negara Indonnesia adalah :

1.      Laju pertambahan penduduk yang tinggi. Terdapat dua ciri penting yang berdampak buruk pada usaha pembangunan yaitu:

-          Jumlah penduduk negara yang relatif besar

-          Tingkat perkembangan penduduk yang sangat pesat

2.      Taraf hidup yang rendah

Taraf hidup dapat dinilai, baik secara kualitatif maupun kuantitatif. Hal ini tampak dari pendapatan yang rendah, perumahan yang kurang memenuhi syarat, kesehatan yang buruk, pendidikan yang rendah, dan angka kematian yang tinggi

3.      Pertanian tradisional

Kekurangan modal, pengetahuan, infrastriktur pertanian, dan aplikasi teknologi modern dalam kegiatan pertanian menyebabkan sektor ini mempunyai tingkat produktifitas rendah dan mengabaikan pendapatan para petani berada pada tingkat subsisten ( hidupnya secara pas-pasan)

4.       Produktifitas yang rendah

Produktifits yang rendah berarti kemampuan berproduksi para tenaga kerja di berbagai pekerjaan sangat rendah

5.      Kekurangan modal dan tenaga ahli

Pada umumnya, di negara Indonesia masih memerlukan modal dan investasi untuk meningkatkan kegiatan ekonomi dan kekurangan tenaga ahli di segala bidang membuat pembangunan ekonomi kurang berjalan dengan lancar

6.      Penciptaan kesempatan kerja

Di Indonesia pertumbuhan penduduk relatif cepat, yang mempengaruhi besarnya jumlah angkatan kerja. Hal ini menyebabkan semakin besarnya jumlah tenaga kerja baru yang akan memasuki angkatan kerja

7.      Ketergantungan pada sektor pertanian

Di negara Indonesia masih menggantungkan pada sektor pertanian dalam pembangunan ekonomi, sehingga akan dapat menghambat laju pertumbuhan ekonomi

 

           

Read More